SISTEMA UNIDIMENCIONAL
- HORIZONTAL
- VERTICAL
SEGMENTO RECTILÍNEO DIRIGIDO. La porción de una línea
recta
comprendida entre dos de sus puntos se llama segmento rectilíneo o
simplemente segmento. Los dos puntos se llaman extremos del segmento. Así, en la figura 1, para la recta 1, AB es un segmento
cuyos extremos son A y B. La longitud del segmento AB se representa
por AB.
comprendida entre dos de sus puntos se llama segmento rectilíneo o
simplemente segmento. Los dos puntos se llaman extremos del segmento. Así, en la figura 1, para la recta 1, AB es un segmento
cuyos extremos son A y B. La longitud del segmento AB se representa
por AB.
A
B
------------->----------
------------->----------
El lector ya está familiarizado con el concepto geométrico de
segmento rectilíneo. Para 10s fines de la Geometría analítica apiadáremos,
a1 concepto geométrico de segmento, la idea de sentido o
dirección. Desde este punto de vista consideramos que el segmento AB
es generado por un punto que se mueve a lo largo de la recta 1 de A
hacia B. Decimos entonces que el segmento AB está dirigido de
A a B, e indicamos esto por medio de una flecha como en la figura 1.
El punto A se llama origen o punto inicial y el punto B
extremo o punto $na2. Podemos también obtener el mismo segmento.
segmento rectilíneo. Para 10s fines de la Geometría analítica apiadáremos,
a1 concepto geométrico de segmento, la idea de sentido o
dirección. Desde este punto de vista consideramos que el segmento AB
es generado por un punto que se mueve a lo largo de la recta 1 de A
hacia B. Decimos entonces que el segmento AB está dirigido de
A a B, e indicamos esto por medio de una flecha como en la figura 1.
El punto A se llama origen o punto inicial y el punto B
extremo o punto $na2. Podemos también obtener el mismo segmento.
dirigi6ndolo de B a A;
entonces B es el origen y A el extremo, y el
segmento se designa por BA. El sentido de un segmento dirigido se
indica siempre escribiendo primero el origen o punto inicial.
Desde el punto de vista de la Geometría elemental, las longitudes
de 10s segmentos dirigidos, AB y BA, son las mismas. En Geometría
analítica, sin embargo, se hace una distinci6n entre 10s signos de
estas longitudes. Así, especificamos, arbitrariamente, que un segmento
dirigido en un sentido sería considerado de longitud positiva,
mientras que otro, dirigido en sentido opuesto, sería considerado
como un segmento de longitud negativo. De acuerdo con esto, si
especificamos que el segmento dirigido AB tiene una longitud positiva
, entonces el segmento dirigido BA tiene una longitud negativa,
y escribimos.
segmento se designa por BA. El sentido de un segmento dirigido se
indica siempre escribiendo primero el origen o punto inicial.
Desde el punto de vista de la Geometría elemental, las longitudes
de 10s segmentos dirigidos, AB y BA, son las mismas. En Geometría
analítica, sin embargo, se hace una distinci6n entre 10s signos de
estas longitudes. Así, especificamos, arbitrariamente, que un segmento
dirigido en un sentido sería considerado de longitud positiva,
mientras que otro, dirigido en sentido opuesto, sería considerado
como un segmento de longitud negativo. De acuerdo con esto, si
especificamos que el segmento dirigido AB tiene una longitud positiva
, entonces el segmento dirigido BA tiene una longitud negativa,
y escribimos.
AB = - BA
Demostraremos en seguida que
todas estas relaciones están incluidas
en la relación fundamental:
en la relación fundamental:
AB+BC=AC
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN UN SISTEMA UNIDIMENSIONAL
TEOREMA 1.-La distancia de un segmento
de recta es igual a la abscisa del punto final menos la abscisa del del punto
inicial en valor absoluto
- Vamos a determinar ahora la longitud del segmento que une dospuntos
dados cualesquiera , tales como PI (zl ) y Pa ( 2 1 ) de la figura 3 .En
Geometria analltica, se dice qne 10s puntos eattin dados cuando se conocen
sus coordenadas . Por tanto , XI y za son ndmeros conocidos .Por la
relaci6n (2) del Articulo 2 , tenemos :
OP1 +
P1P2 = OP2
Pero, P1P2= OP2-OP1
P1P2 = (X2 - X1)
Pero, P1P2= OP2-OP1
P1P2 = (X2 - X1)
Ejemplo. Hallar la distancia entre 10s puntos PI (5) y P2 (- 3).
Solución. Por el teorema 1. Las longitudes de 10s segmentos dirigidos son
P1P2 = -3-5 = -8
P2P1= 5-(-3) =8 _P2_______P1_________0
(-3) (5)
SISTEMA DE COORDENADAS
RECTANGULARES
TEOREMA 2 .A La distancia d entre dos
puntos P1(X1, Y1) y P2(x2, y2)
está dada por la FORMULA
está dada por la FORMULA
NOTAS. 1. En la demostración del teorema 2, no se hizo menci6n de 10s cuadrantes en que se encuentran 10s puntos PI y Pa. Seg6n esto el resultado del teorema 2 es completamente general e independiente d, la situación de 10s puntos P1 y P2.
DIVISION
DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA
TEOREMA 3.- SI P1(X1,Y1) Y P2(X2,Y2) son
los puntos extremos de un segmento de recta en que un punto p (x,y) divide
a este segmento en la razón dada r = P1P/PP2 Y viene carculada por x =
x1+rx2/ 1+r
y = y1+ r y2/ 1+
r r =/= -1
Ejemplo.
Si PI (- 4. 2) y P2 (4, 6) son
10s puntos extremos del segmento
dirigido PI Pa, hallar- las c-coordenadas del punto P ( x , y) que divide a este
segmento en la raz6n P 1 P : PP2 = - 3.
dirigido PI Pa, hallar- las c-coordenadas del punto P ( x , y) que divide a este
segmento en la raz6n P 1 P : PP2 = - 3.
Solución -. Como la razón r es negativa.
el punto de división P es externo,
tal como se indica en la figura 10. Si aplicamos el teorema 3 directamente,
obtendremos:
tal como se indica en la figura 10. Si aplicamos el teorema 3 directamente,
obtendremos:
x = x1+ r x2 / 1+r
x= -4+(-3)4/
1-3= 8
y= y1+ ry2 /1+ r
y = 2+(-3)6 /1-3 = 8
PUNTO MEDIO
En el caso particular en que P es el punto medio del segmento dirigido
P1 P2, es r = 1 , de manera que 10s resultados anteriores se reducen a :
X =
X1+X2/2
; Y= Y1+Y2/2
LÍNEAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO
MEDIANAS: Punto de intersección es el
Baricentro
l
MEDIATRICES: Punto de intersección es el Circuncentro
ALTURAS : Punto de interseccion
es el Ortocentro
BISECTRICES: Punto de interseccion es el
Incentro
La recta que une a los puntos (Baricentro,
Circuncentro , Ortocentro y Incentro ) se llama recta de Euler .
Pendiente de una recta
(m)
Angulo de
inclinación α .- E s el angulo formado entre la parte positiva del
eje de las x y una alineación cualquiera siempre q esta este dirigida hacia
arriba por lo tanto α tendra valores mayores o iguales a cero
grados y menores o iguales a 180 º
Pendiente de una recta.-la pendiente de una recta es igual a la tangente
del ángulo de inclinación α
m = tg
TEOREMA 3.- si p1(x1, y 1) y p2(x2, y 2)
son los puntos extremos de un segmento de recta su pendiente viene
determinada por
m=
y1-y2/x1-x2
x1=/= x2
ÁNGULO FORMADO POR DOS RECTAS
TEOREMA 4.-Un ángulo especificado Θ
formado por dos rectas que se cortan ; viene determinado por m2 pendiente del
lado final y m1 pendiente del lado inicial .
tg Θ = m2-m1/ 1+m2.m1 ; m2.m1 =/= -1
DEMOSTRACIÓN:
L
α2 = α 1 + Θ
Θ = α2 - α 1
Tg Θ = tg (α2 - α
1)
tg Θ = tg
α2- tg α1/1+ tg α2 . tg α 1
m = tg α
tg α =m2-m1/1+ m2,m1
EJEMPLO:
- En el siguiente triángulo cuyos vértices son
lospuntos de coordenads A (-4,8) B(4,4) Y C (-2,2) . Hallar los
ángulos interiores
.
mAB = Y1-Y2/X1-X2
mAC= 8-2/-4+2= -6/2 = -3
mAB= 8-4/-4-4= 4/ -8 =
-1/2
mBC= 4-2/4+2 = 2/6 =1/3.
Tg Θ A = m2-m1/1+m2.m1
Tg Θ C =
m2-m1/1+m2.m1
Tg Θ=
-1/2-(-3)/1+(-1/3)(-3)
Tg Θ = (-3 - 1/3)/ (1-3(1/3))
Tg Θ =-1/2+3 /
1+3/2
Tg Θ= (-9-1/3)/(1-3/5)
Tg Θ = (-1+6/2)/(2+3/2)=5/5=
1
Tg Θ = (-10/3)/(0/3) = -30/0 = infinito
Tg Θ a = 1
Θ A = inv tg 1
Θ A = 45º
Tg Θ B= m2-m1/1+m2.m1
Comprobación:
Tg Θ =
1/3-(-1/2)/1+1/3(-1/2)
A+B+C =180º
Tg Θ
=(1/3+1/2)/(1-1/6)
45º +45º +90º = 180º
Tg Θ = (5/6)/(5/6)
180º = 180º
Tg Θ = 5/5
Tg Θ = 1
Θ = Inv Tg 1
Θ = 45º
PENDIENTE DE UNA RECTA (m)
a)
PARALELAS
Corolario.- La condición necesaria y suficiente para que dos rectas sean paralelas esq sus pendientes sean iguales m1 = m2
.
Tg 0º
= m2 - m1 / 1+m2.m1
0/1= m2 - m1/ 1+m2.m1
(1+m2.m1)0 = m2-m1
0 = m2-m1
m1 = m2
b)
PERPENDICULARES
Corolario.- La condición
necesaria y suficiente para que dos rectas sean perpendiculares es que sus pendientes sean inversas y de signo
contrario
Tg Θ = m2- m1/1+m2.m1
Tg 90º = m2- m1/1+m2.m1
Tg 90º = inf = 1/0
1/0 = m2- m1/1+m2.m1
1+m2.m1 = 0(m2-m1)
1+m2.m1 =0
m1 = - 1 /m2
LA
LÍNEA RECTA
Es el lugar geométrico
de un punto que se mueve P2 (x2, y2) tiene por pendiente
m= y1-y2
FORMAS DE REPRESENTACIÓN DE LA LÍNEA RECTA
1) ECUACIÓN DE LA RECTA DE PENDIENTE Y ORDENADA AL
ORIGEN
TEOREMA 5.- La ecuación de la recta cuya pendiente es m y su
ordenada al origen es b, tiene como ecuación
y= mx + b
DEMOSTRACIÓN:
m= Y-b/x-0
m= y-b /x
mx = y-b
mx + b =
y
EJEMPLO:
1)
HALLAR LA ECUACIÓN DE LA RECTA CUYA PENDIENTE ES 2/3 Y CUYA ORDENADA AL ORIGEN
ES b= -4
Y = 2/3 X -4.
3Y = 2X -12
2X - 3Y -12 = 0
2) ECUACION DE LA RECTA QUE
PASA POR UN PUNTO Y TIENE SU PENDIENTE CONOCIDA
TEOREMA 6.- La ecuación de una recta cuya pendiente es m
y pasa por el punto p(x, y) tiene una ecuación
y-y1= m(x-x1)
DEMOSTRACIÓN:
.
m= y-y1/x-x1
m(x-x1)= y-y1
y-y1=m(x-x1)
EJEMPLO:
1) HALLAR LA ECUACIÓN DE LA RECTA CUYA PENDIENTE ES
-3/5 Y PASA POR EL PUNTO (4,7)
Y-Y1= m (x-x1)
y-7 = -3/5 (x-4)
5y - 35 = 3x +12
3x + 5y - 47 = 0
3) ECUACIÓN DE LA
RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS DADOS
TEOREMA 7 .- La ecuación de la recta que pasa por el punto P1(x1,y1) y P2(x2,y2) tiene como ecuación :
m = y1-y2/x1-x2
y-y1 = m = ( x - x1)
y-y1= y1-y2/x1-x2(x-x1)
EJEMPLO:
AQUI PODEMOS OBSERVAR UN VIDEO
MUY INTERESANTE SOBRE DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
4) ECUACIÓN SIMÉTRICA DE LA
RECTA
TEOREMA 8.- La ecuación de la recta cuyas intersecciones con los ejes de coordenadas (x, y) son a y b respectivamente. Su ecuación es
x/a + y/b =1
.
y-y1= y1-y2/x1-x2(x-x1)
y- b= b-0/0-a (x-0)
y-b =-b/a (x)
-a(y-b) = bx
-ay + ab = bx
bx+ay = ab : (ab)
bx/ab + ay /ab = ab/ab
x/a + y/b = 1
FORMA GENERAL DE LA ECUACION DE UNA RECTA.
En los artículos precedentes hemos visto que la ecuaci6n de una recta cualquiera , en el plano coordenado , es de la forma lineal
La ecuación explícita de la recta cuando se conocen dos puntos excluye
las rectas paralelas al eje y, cuyas ecuaciones son de la forma x =
constante, pero todas las rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas
en la ecuación Ax + By + C = 0 que se conoce como: la ecuación general
de la linea recta, como lo afirma el siguiente teorema:
TEOREMA La ecuación general de primer grado Ax + By + C = 0 (1) , A, B, C R; A y B no son simultáneamente nulos, representan una linea recta. Demostración i. Se puede Considerar varios casos:
A = 0, B
diferente de 0.
En este caso, la ecuación (1) se
transforma en By + C = 0,0de donde
(2)
|
FORMA NORMAL DE LA ECUACIÓN DE LA
RECTA
Ecuación normal de la recta
Los puntos A
y X de la recta r determinan el vector:
= (x - a1, y - a2)
El vector es un vector unitario y perpendicular a r.
Si las componentes del vector director de r son (-B, A),
las componentes de su vector perpendicular correspondiente son: (A, B).
Por tanto las componentes del vector unitario y
perpendicular serán
Como y son perpendiculares, su producto escalar es cero:
Si en la
ecuación general sustituimos las coordenadas del punto A, obtenemos:
Ejemplo
·
Hallar la ecuación
normal de la recta r ≡ 12x - 5y +26 = 0.
Otra forma de expresar la ecuación normal de la recta
es:
Ejemplo
·
Hallar la
ecuación de una recta perpendicular al segmento de extremos A(5, 6) y B(1,8) en
su punto medio.
Este vector es perpendicular a la recta buscada.
COSENOS DIRECTORES
Las
componentes de un vector unitario en una base ortonormal , son el
coseno y el seno que forma con el vector de la base.
Estas expresiones se llaman cosenos directores de la recta,
ya que la segunda puede escribirse como: sen α = cos(90º - α).
FAMILIA DE LINEAS RECTAS
En el Artículo 29 vimos que una recta y su ecuaci6n quedan determinadas
perfectamente por dos condiciones independientes. Por tanto, una recta que
satisface solamente una condici6n no es una recta línea ; hay infinidad de
rectas que la cumplen, cada una de las cuales tiene la propiedad con asociada
con esa línea condici6n. De acuerdo con esto podemos formular la siguiente