Geometria Analitica

SISTEMA UNIDIMENCIONAL 

• HORIZONTAL

• VERTICAL 

SEGMENTO RECTILÍNEO DIRIGIDO. La porción de una línea recta
comprendida entre dos de sus puntos se llama segmento rectilíneo o
simplemente segmento. Los dos puntos se llaman extremos del segmento. Así, en la figura 1, para la recta 1, AB es un segmento
cuyos extremos son A y B. La longitud del segmento AB se representa
por AB.

A                   B
------------->----------

 El lector ya está familiarizado con el concepto geométrico de
segmento rectilíneo. Para 10s fines de la Geometría analítica apiadáremos,
a1 concepto geométrico de segmento, la idea de sentido o
dirección. Desde este punto de vista consideramos que el segmento AB
es generado por un punto que se mueve a lo largo de la recta 1 de A
hacia B. Decimos entonces que el segmento AB está dirigido de
A a B, e indicamos esto por medio de una flecha como en la figura 1.
El punto A se llama origen o punto inicial y el punto B
extremo o punto $na2. Podemos también obtener el mismo segmento.

 dirigi6ndolo de B a A; entonces B es el origen y A el extremo, y el
segmento se designa por BA. El sentido de un segmento dirigido se
indica siempre escribiendo primero el origen o punto inicial.
Desde el punto de vista de la Geometría elemental, las longitudes
de 10s segmentos dirigidos, AB y BA, son las mismas. En Geometría
analítica, sin embargo, se hace una distinci6n entre 10s signos de
estas longitudes. Así, especificamos, arbitrariamente, que un segmento
dirigido en un sentido sería considerado de longitud positiva,
mientras que otro, dirigido en sentido opuesto, sería considerado
como un segmento de longitud negativo. De acuerdo con esto, si
especificamos que el segmento dirigido AB tiene una longitud positiva
, entonces el segmento dirigido BA tiene una longitud negativa,
y escribimos.       

AB = - BA

 Demostraremos en seguida que todas estas relaciones están incluidas
en la relación fundamental:

AB+BC=AC

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN UN SISTEMA UNIDIMENSIONAL

 TEOREMA 1.-La distancia de un segmento de recta es igual a la abscisa del punto final menos la abscisa del del punto inicial en valor absoluto

• Vamos a determinar ahora la longitud del segmento que une dospuntos dados cualesquiera , tales como PI (zl ) y Pa ( 2 1 ) de la figura 3 .En Geometria analltica, se dice qne 10s puntos eattin dados cuando se conocen sus coordenadas . Por tanto , XI y za son ndmeros conocidos .Por la relaci6n (2) del Articulo 2 , tenemos :

OP1 + P1P2 = OP2

                      Pero, P1P2= OP2-OP1
                            
                               P1P2 = (X2 - X1)

Ejemplo. Hallar la distancia entre 10s puntos PI (5) y P2 (- 3).
Solución. Por el teorema 1. Las longitudes de 10s segmentos dirigidos son
                       

                           P1P2 = -3-5 = -8
                           P2P1= 5-(-3) =8         _P2_______P1_________0
                                                                (-3)            (5)

SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES

TEOREMA  2 .A La distancia d entre dos puntos P1(X1, Y1) y P2(x2, y2)
está dada por la FORMULA  

NOTAS. 1. En la demostración del teorema 2, no se hizo menci6n de 10s cuadrantes en que se encuentran 10s puntos PI y Pa. Seg6n esto el resultado  del teorema 2 es completamente general e independiente d, la situación de 10s puntos P1 y P2.
 

   DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA

TEOREMA 3.- SI P1(X1,Y1) Y P2(X2,Y2) son los puntos extremos de un segmento de recta en que un punto p (x,y) divide a este segmento en la razón dada  r = P1P/PP2 Y viene carculada por x = x1+rx2/ 1+r

y = y1+ r y2/ 1+ r          r =/= -1

Ejemplo.

Si PI (- 4. 2) y P2 (4, 6) son 10s puntos extremos del segmento
dirigido PI Pa, hallar- las c-coordenadas del punto P ( x , y) que divide a este
segmento en la raz6n P 1 P : PP2 = - 3.

Solución -. Como la razón r es negativa. el punto de división P es externo,
tal como se indica en la figura 10. Si aplicamos el teorema 3 directamente,
obtendremos:

x = x1+ r x2 / 1+r

x=  -4+(-3)4/ 1-3= 8

y= y1+ ry2 /1+ r

y = 2+(-3)6 /1-3 = 8

PUNTO MEDIO

En el caso particular en que P es el punto medio del segmento dirigido P1 P2, es r = 1 , de manera que 10s resultados anteriores se reducen a :
                    

     X = X1+X2/2         ;        Y= Y1+Y2/2  

         

LÍNEAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO

MEDIANAS: Punto de intersección es el Baricentro

l

 MEDIATRICES: Punto de intersección es el Circuncentro

ALTURAS : Punto de interseccion  es el Ortocentro 

  

BISECTRICES: Punto de interseccion es el Incentro 

                                                      

 La recta que une a los puntos (Baricentro, Circuncentro , Ortocentro y Incentro ) se llama recta de Euler .

 Pendiente de una recta (m)

Angulo de inclinación α .- E s el angulo formado entre la parte positiva del eje de las x y una alineación cualquiera siempre q esta este dirigida hacia arriba por lo tanto α   tendra valores mayores o iguales a cero grados y menores o iguales a 180 º

Pendiente de una recta.-la pendiente de una recta es igual a la tangente del ángulo de inclinación α

m = tg

TEOREMA 3.- si p1(x1, y 1) y p2(x2, y 2) son los puntos extremos de un segmento de recta su pendiente viene determinada  por 

m= y1-y2/x1-x2              x1=/= x2

ÁNGULO FORMADO POR DOS RECTAS

TEOREMA 4.-Un ángulo especificado Θ  formado por dos rectas que se cortan ; viene determinado por m2 pendiente del lado final y m1 pendiente del lado inicial .

tg Θ = m2-m1/ 1+m2.m1       ; m2.m1 =/= -1

DEMOSTRACIÓN:

L

α2 = α 1 + Θ

Θ =  α2 - α 1

Tg Θ = tg (α2 - α 1)

tg  Θ = tg α2- tg α1/1+ tg α2 . tg α 1

m = tg α

tg  α =m2-m1/1+ m2,m1

EJEMPLO:

• En el siguiente triángulo cuyos vértices son lospuntos  de coordenads A (-4,8) B(4,4) Y C (-2,2) . Hallar los ángulos interiores

.

mAB = Y1-Y2/X1-X2                                mAC= 8-2/-4+2= -6/2 = -3

mAB= 8-4/-4-4= 4/ -8 = -1/2                     mBC= 4-2/4+2 = 2/6 =1/3.

Tg Θ A = m2-m1/1+m2.m1                        Tg Θ  C =   m2-m1/1+m2.m1

Tg Θ= -1/2-(-3)/1+(-1/3)(-3)                      Tg Θ = (-3 - 1/3)/ (1-3(1/3))

Tg Θ =-1/2+3 / 1+3/2                                  Tg Θ= (-9-1/3)/(1-3/5)

Tg Θ  = (-1+6/2)/(2+3/2)=5/5= 1                 Tg Θ = (-10/3)/(0/3) = -30/0 = infinito

Tg Θ a = 1

Θ A = inv tg 1

Θ A  = 45º

Tg Θ B= m2-m1/1+m2.m1                            Comprobación:

Tg Θ = 1/3-(-1/2)/1+1/3(-1/2)                       A+B+C =180º

Tg Θ =(1/3+1/2)/(1-1/6)                               45º +45º +90º = 180º

Tg Θ = (5/6)/(5/6)                                               180º  = 180º

Tg Θ = 5/5

Tg Θ  = 1

Θ = Inv Tg 1

Θ = 45º

PENDIENTE DE UNA RECTA (m)

a) PARALELAS

Corolario.-  La condición necesaria y suficiente  para que dos rectas sean paralelas esq sus pendientes sean iguales   m1 = m2 

.

Tg 0º = m2 - m1 / 1+m2.m1

0/1= m2 - m1/ 1+m2.m1

(1+m2.m1)0 = m2-m1

 0 = m2-m1

m1 = m2

b) PERPENDICULARES

Corolario.- La condición necesaria y suficiente para que dos rectas sean perpendiculares es que  sus pendientes sean inversas y de signo contrario

Tg Θ = m2- m1/1+m2.m1

Tg 90º = m2- m1/1+m2.m1

Tg 90º = inf = 1/0

1/0  =  m2- m1/1+m2.m1

1+m2.m1 = 0(m2-m1)

1+m2.m1 =0

m1 = - 1 /m2

LA LÍNEA RECTA

Es el lugar geométrico  de un punto que se mueve P2 (x₂, y₂) tiene por pendiente

m= y₁-y₂

 FORMAS DE REPRESENTACIÓN DE LA LÍNEA RECTA

1) ECUACIÓN DE LA RECTA DE PENDIENTE Y ORDENADA AL ORIGEN 

TEOREMA 5.- La ecuación de la recta cuya pendiente es m y su ordenada al origen es b, tiene como ecuación

y= mx + b

DEMOSTRACIÓN:

m= Y-b/x-0

m= y-b /x

mx = y-b

 mx + b = y 

EJEMPLO:

1) HALLAR LA ECUACIÓN DE LA RECTA CUYA PENDIENTE ES 2/3 Y CUYA ORDENADA AL ORIGEN ES b= -4 

  

Y = 2/3 X -4.

3Y = 2X -12 

2X - 3Y -12 = 0

                                                                                              

2) ECUACION DE LA RECTA QUE PASA POR UN PUNTO Y TIENE SU PENDIENTE CONOCIDA

TEOREMA 6.-  La ecuación de una recta cuya pendiente es m y pasa por el punto p(x, y) tiene una ecuación 

y-y1= m(x-x1)

 DEMOSTRACIÓN:

 .

 m= y-y1/x-x1

m(x-x1)= y-y1

y-y1=m(x-x1)

EJEMPLO:

1) HALLAR LA ECUACIÓN DE LA RECTA CUYA PENDIENTE ES -3/5  Y PASA POR EL PUNTO (4,7)

Y-Y1= m (x-x1)

y-7 = -3/5 (x-4)

5y - 35 = 3x +12

3x + 5y - 47 = 0

3) ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS DADOS 

TEOREMA 7 .- La ecuación de la recta que pasa por el punto P1(x1,y1) y P2(x2,y2) tiene como ecuación :

                                                                

m = y1-y2/x1-x2

y-y1  = m = ( x - x1)

y-y1= y1-y2/x1-x2(x-x1)

EJEMPLO:

AQUI PODEMOS OBSERVAR UN VIDEO MUY INTERESANTE SOBRE DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

4) ECUACIÓN SIMÉTRICA DE LA RECTA 

TEOREMA 8.- La ecuación de la recta cuyas intersecciones con los ejes de coordenadas (x, y) son a y b respectivamente. Su ecuación  es

x/a + y/b =1

.

y-y1= y1-y2/x1-x2(x-x1)

y- b= b-0/0-a (x-0)

y-b =-b/a (x)

-a(y-b) = bx

-ay + ab = bx

bx+ay = ab    :  (ab)

bx/ab + ay /ab = ab/ab

x/a + y/b = 1 

  

FORMA GENERAL DE LA ECUACION DE UNA RECTA.

 En  los  artículos precedentes hemos visto que la ecuaci6n de una recta cualquiera , en el plano coordenado , es de la forma lineal

La ecuación explícita de la recta cuando se conocen dos puntos excluye las rectas paralelas al eje y, cuyas ecuaciones son de la forma x = constante, pero todas las rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación Ax + By + C = 0 que se conoce como: la ecuación general de la linea recta, como lo afirma el siguiente teorema:  TEOREMA La ecuación general de primer grado Ax + By + C = 0 (1) , A, B, C R; A y B no son simultáneamente nulos, representan una linea recta.   Demostración  i.   Se puede Considerar varios casos: A = 0, B diferente de 0.        En este caso, la ecuación (1) se transforma en By + C = 0,0de donde   (2)

FORMA NORMAL DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA 

Ecuación normal de la recta

Los puntos A y X de la recta r determinan el vector:

= (x - a₁, y - a₂)

El vector es un vector unitario y perpendicular a r.

Si las componentes del vector director de r son (-B, A), las componentes de su vector perpendicular correspondiente son: (A, B).

Por tanto las componentes del vector unitario y perpendicular serán

Como y son perpendiculares, su producto escalar es cero:

Si en la ecuación general sustituimos las coordenadas del punto A, obtenemos:

Ejemplo

·         Hallar la ecuación normal de la recta r ≡ 12x - 5y +26 = 0.

Otra forma de expresar la ecuación normal de la recta es:

Ejemplo

·         Hallar la ecuación de una recta perpendicular al segmento de extremos A(5, 6) y B(1,8) en su punto medio.

Este vector es perpendicular a la recta buscada.

COSENOS DIRECTORES

Las componentes de un vector unitario en una base ortonormal , son el coseno y el seno que forma con el vector de la base.

Estas expresiones se llaman cosenos directores de la recta, ya que la segunda puede escribirse como: sen α = cos(90º - α).

 FAMILIA DE LINEAS RECTAS 

En el Artículo 29 vimos que una recta y su ecuaci6n quedan determinadas perfectamente por dos condiciones independientes. Por tanto, una recta que satisface solamente una condici6n no es una recta línea ; hay infinidad de rectas que la cumplen, cada una de las cuales tiene la propiedad con asociada con esa línea condici6n. De acuerdo con esto podemos formular la siguiente