FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las
últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se
pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones
fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se
utilizan actualmente; por ejemplo el verseno (1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1).
Función
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Abreviatura
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Equivalencias
(en radianes)
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sin (sen)
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cos
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tan
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ctg
(cot)
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sec
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csc
(cosec)
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Para definir las razones
trigonométricas del ángulo: 
, del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los
lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivo será:
, del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los
lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivo será:- La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo
recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.
- El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo .
- El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al
ángulo .
Todos los triángulos considerados
se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos
internos es igual a π radianes (o 180°). En consecuencia, en cualquier triángulo
rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radianes. Las
definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones
trigonométricas para ángulos dentro de ese rango:
El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo
, en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:
6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:
FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES
| Para originar dos de los ángulos notables (30° y 60°), se empieza dibujando un triángulo equilátero con su respectiva altura en el vértice C hacia el lado AB, como muestra la figura. Se escoge un equilátero por tener sus lados iguales y sus ángulos de 60°, así ya tendremos el ángulo de 60°. Ahora veamos cómo surge el ángulo de 30° que también nos interesa. |
Y las funciones
trigonométricas de los ángulos notables son:
Bien, el triángulo de las funciones trigonométricas de los ángulos
notables de 30° y 60°, está listo, y los valores de las funciones
trigonométricas principales también.
Por último nos queda escribir los valores de las funciones
trigonométricas recíprocas, es decir, de aquellas que son el “inverso
multiplicativo” de las escritas anteriormente.
Con estos valores de las funciones trigonométricas o razones trigonométricas
de los ángulos notables puedes empezar a solucionar triángulos cuyos ángulos
internos sean siempre notables (30, 45 y 60 grados)
En un triángulo rectángulo
isósceles, sus ángulos agudos miden 45° cada uno. La hipotenusa, a, de
este tipo de triángulo rectángulo es:a = l 2 + l 2 = 2 l 2 = 2 · l, siendo l la longitud de cada cateto.
sen 45 ° = l 2 · l = 1 2 = 2 2 cos 45 ° = l 2 · l = 1 2 = 2 2
tg 45 ° = l l = 1
Ejercicios:
·
Sabiendo que cos α = ¼ , y que 270º <α <360°.
Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.
·
Sabiendo que cos α = ¼ , y
que 270º <α <360°. Calcular las restantes razones trigonométricas
del ángulo α.
·
De un triángulo rectángulo
ABC, se conocen a = 5 m y B = 41.7°. Resolver el triángulo
-
Un árbol de 50 m de alto
proyecta una sombra de 60 m de larga. Encontrar el ángulo de elevación del sol
en ese momento.
·
De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m
y B = 54.6°. Resolver el triángulo.
TRANSFORMACIÓN DE ANGULOS EN GRADOS O EN
RADIANES
1 GRADO = π/180º = 0.017453
RAD
1 RADIAN = 180º/π =57,2958º
EJEMPLOS:
·
TRANSFORMAR LOS SIGUIENTES
ANGULOS DADOS EN MEDIDA CIRCULAR A GRADOS
π/2= π/2 . 180/π =
90º
2π/3 = 2π/3 . 180/π =180º
2π = 2π . 180/π =
360º
π+1/3= 1.38(57.2958)= 79º 05º 54.95º
- LOS SIGUIENTES ANGULOS ESTAN DADOS EN GRADOS , TRANSFORMARLO A
MEDIDA CIRCULAR
150º= 150 . π/180 =
5π/6
35º 46º 18º = 35.77º (0.017453)= 0.624 RAD
240º = 240 . π/180 = 4π/3
RESOLUCIÓN DE POLIGONOS REGULARES
Resolución de triángulos isósceles
CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA AL
POLÍGONO
1) α= 360º/n
n= número de lados del polígono
2) α/2= 360/n/2 = 180/n
3) Area del triángulo isosceles c.r/2
4) Área del polígono c.r.n/2
5) Perimetro c.n
Ejemplo:
RESOLVER EL SIGUIENTE POLIGONO REGULAR
DATOS:
r =18
n= 10
1) calculo α/2 = 180/n= 18
Área del
triángulo
Área del polígono
2) cos 18º = r/R =18
/R
A=
c.r/2
A= C.r.n/2
R=18/ cos 18
=18.93
A= 11.69(18)/2
A=11.69(18)(10)/2 =1052.1 u
tg 18º = C/2/r =
C/36
A= 105.21 u Perímetro del polígono
C = 36 tg 18º =
11.69
c.n= 11.69 * 10= 116.9 u
TÉRMINOS
EMPLEADOS EN PROBLEMAS TRIGONOMÉTRICOS
- VERTICAL DE UN LUGAR ._ es la línea que coincide con la dirección de la
plomada
- LÍNEA HORIZONTAL ._ Es la perpendicular a la vertical
- UN PLANO VERTICAL ._ Es el que contiene a la vertical (pared)
- UN PLANO HORIZONTAL._ Es el plano perpendicular a la vertical (piso)
- ÁNGULO DE ELEVACIÓN ._ Es el ángulo vertical formado por la visual del observador y la
visual del objeto
- ÁNGULO DE DEPRESIÓN ._Es el ángulo vertical formado por la visual
RESOLUCIÓN
DE TRIÁNGULOS OBLICUANGULOS
Para resolver triángulos oblicuángulos
utilizamos la ley del seno, coseno, y la ley de la tangente.
LEY
DEL SENO
ENUNCIADO.- El lado de un triángulo es al seno del ángulo
opuesto
a/senA= b/ senB = c / sen C
DEMOSTRACIÓN:
I
Sen A =
h/c
Sen C = h/a
h =
c.senA
h = a. sen C
c.senA = a . sen C
c/ senC = a / sen A
1) DATOS:
a=
40
A=60º
B=45º
40/Sen 60º = b/Sen 45º
A+B+C=180
b=40 sen 45º/ sen 60º= 32.65
60º +45º + C = 180º
C = 75º
a/
sen A = c/ Sen
C
A=1/2 a.b sen C
40/Sen
60º = c / sen 75º
C= 40
. sen 75º/ sen 60º = 44.61
A=1/2 (40)(32.65)Sen 75º
A=630.75 u
RESOLUCIÓN
DE TRIÁNGULOS OBLICUANGULOS
LEY DEL COSENO
Enunciado._ El cuadrado del lado de un
triángulo es igual a la suma del cuadrado de los otros menos el doble producto
de dichos lados por el coseno del ángulo que forman:
1)
RESOLVER EL SIGUIENTE TRIÁNGULO OBLICUANGULO
A=8
B=19
C = 14
LEY DE LA TANGENTE
La suma de dos lados en un triángulo es a su diferencia como la tg mitad
de la suma de los ángulos opuestos es a la tg mitad de la diferencia de dichos
ángulos:
ANALISIS TRIGONOMÉTRICO
(Seno y coseno de la suma o diferencia de dos
Ángulos)
- sen ( x + y )
= sen x . cos y + cos x . sen y
- sen ( x - y )
= sen x . cos y - cos x . sen y
- cos ( x + y )
= cos x.cos y - sen x . sen y
- cos ( x - y )
= cos x . cosy + sen x. sen y
- tg (x + y )=
tg x + tg y /1-tg x . tg y
- tg (x - y ) =
tg x - tg y / 1+ tg x . tg y
- ctg (x+y) =
ctg x . ctg y-1/ ctg y+ ctg x
- ctg (x -y) =
ctg x . ctg y +1 / ctg y - ctg x
DEMOSTRAR QUE :
COS (X-Y+Z)= cosx cosy cosz + cosx sen y senz - senx cosy senz + senx
seny cosz
cos ( (x-y) +z) = cos (x-y)cosz - sen(x-y) senz
cos ((x-y) + z) = ( cosx cosy + senx seny )cosz - (senx cosy -cosx seny ) senz
cos ((x-y) + z)= cosx cosy cosz + senz seny cosz - senx cosy senz + cosx seny senz
IDENTIDADES
1) Podemos reducir un miembro a la forma del otro miembro usando
identidades conocidas, general , el miembro más complicado es reducido a la
forma del miembro más sencillo .
2) Podemos reducir ambos miembros usando identidades conocidas, a la
misma expresión, entonces como los dos miembros son idénticos a una
misma expresión son idénticos entre si
No puede darse ningún método general a seguir en todos los casos
·
Demostrar la siguiente
igualdad trigonométrica que es una identidad
·
sen y /1 + cos y = 1- cos y/sen y
tg x/2 = tg x/2
·
Ctg x = sen 2x/ 1-cos2 x
ctg x =2senx cosx /1-(1+2sen2x)
ctg x = 2senx cos x /1-1-2 sen x
ctg x = 2senx cos x / 2 sen2 x
ctg x = cosx / sen x
ctg x =ctg x
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